🌹 মাধ্যমিক গণিত সাজেশন-২০২৫:পার্ট-২:১০০% কমন আসবেই 🌹

 

✍️নীচের প্রশ্নগুলির উত্তর দাও(প্রশ্নের মান-২):

 

1. বার্ষিক সরল সুদের হার 4% থেকে 3% হওয়ায় এক ব্যক্তির আয় 60 টাকা কম হয়। ওই ব্যক্তির মূলধন নির্ণয় করো।

সমাধান:
ধরি, ব্যক্তিটির মূলধন = $p$ টাকা।

প্রথম অবস্থায় (4% সুদ):
4% বার্ষিক সরল সুদের হারে 1 বছরে সুদ হবে:
$\text{সুদ} = \frac{4p}{100} = \frac{p}{25}$

দ্বিতীয় অবস্থায় (3% সুদ):
3% বার্ষিক সরল সুদের হারে 1 বছরে সুদ হবে:
$\text{সুদ} = \frac{3p}{100} = \frac{p}{33.33}$

শর্তানুসারে:
সুদ কমে গেছে 60 টাকা।
$\frac{p}{25} - \frac{p}{33.33} = 60$

সাধারণ হিসাব:
$\frac{p}{25} = 0.04p, \, \frac{p}{33.33} = 0.03p$
$0.04p - 0.03p = 60$
$0.01p = 60$
$p = \frac{60}{0.01} = 6000 \times 4 = 24,000$

অতএব, ওই ব্যক্তির মূলধন = 24,000 টাকা।

---

2. A এবং B যথাক্রমে 15,000 টাকা এবং 45,000 টাকা দিয়ে ব্যবসা শুরু করল। 6 মাস পরে B লভ্যাংশ হিসেবে 3,030 টাকা পেল। A-এর লভ্যাংশ কত?

সমাধান:
ধরি, A-এর লভ্যাংশ = $x$ টাকা।

মূলধনের অনুপাত:
A এবং B-এর মূলধনের অনুপাত:
$15000 : 45000 = 1 : 3$

লভ্যাংশের অনুপাত:
A এবং B-এর লভ্যাংশও তাদের মূলধনের অনুপাত অনুযায়ী হবে।
$x : 3030 = 1 : 3$
$\frac{x}{3030} = \frac{1}{3}$
$x = \frac{3030}{3} = 1010$

অতএব, A-এর লভ্যাংশ = 1,010 টাকা।

 

3. $2x + \frac{x}{2} = 2$ হলে, $2x^2 + x + 1$ এর মান কত?

সমাধান:
প্রথমে সমীকরণটি $2x + \frac{x}{2} = 2$ সমাধান করি।
এই সমীকরণকে সমাধান করতে, আমরা প্রথমে পুরো সমীকরণটি 2 গুণ করব যাতে $x$-এর ভগ্নাংশ দূর হয়।

$2x + \frac{x}{2} = 2$
এই সমীকরণটিকে 2 গুণ করলে:
$4x + x = 4$
$5x = 4$
এখন,
$x = \frac{4}{5}$

এখন $x = \frac{4}{5}$ এর মান স্থাপন করে $2x^2 + x + 1$ এর মান নির্ণয় করি।

$2x^2 + x + 1 = 2 \times \left( \frac{4}{5} \right)^2 + \frac{4}{5} + 1$
প্রথমে $x^2$ এর মান বের করি:
$\left( \frac{4}{5} \right)^2 = \frac{16}{25}$
এখন, $2x^2 + x + 1$ এর মান হবে:
$2 \times \frac{16}{25} + \frac{4}{5} + 1 = \frac{32}{25} + \frac{20}{25} + \frac{25}{25}$
$= \frac{77}{25}$

অতএব, $2x^2 + x + 1$ এর মান হবে $\frac{77}{25}$।

---

4. কোনো দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় 2, 3 হলে সমীকরণটি লেখা

সমাধান:
যদি দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় 2 এবং 3 হয়, তবে দ্বিঘাত সমীকরণটি হবে:

বীজদ্বয় $p$ এবং $q$ হলে সমীকরণ হবে:
$x^2 - (p + q)x + pq = 0$

এখানে, $p = 2$ এবং $q = 3$, তাহলে সমীকরণটি হবে:
$x^2 - (2 + 3)x + 2 \times 3 = 0$
$x^2 - 5x + 6 = 0$

অতএব, সমীকরণটি হবে:
$x^2 - 5x + 6 = 0$

---

5. $\triangle ABC$-এর BC বাহুর সমান্তরাল AB ও AC -কে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করে। যদি $AP = 4$ সেমি, $QC = 9$ সেমি, এবং $PB = AQ$ হয়, তাহলে PB এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

সমাধান:

 
 $\triangle ABC$-এর PQ, BC এর সমান্তরাল হওয়ায়, আমরা থ্যালেসের উপপাদ্য ব্যবহার করতে পারি।
থ্যালেসের উপপাদ্য অনুযায়ী,

$$\frac{AP}{PB} = \frac{AQ}{QC}$$

এখন, $AP = 4$ সেমি এবং $QC = 9$ সেমি, $AQ = PB$ হওয়ায়,

$$\frac{4}{PB} = \frac{PB}{9}$$

এটি সমাধান করলে:

$$4 \times 9 = PB^2$$ $$$$

অতএব, PB এর দৈর্ঘ্য = 6 সেমি।

 

6. O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 5 সেমি। O বিন্দু থেকে 13 সেমি দূরত্বে P একটি বিন্দু। PQ এবং PR বৃত্তের দুটি স্পর্শক হলে PQOR চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:

 
প্রথমে $\triangle POQ$ এর তথ্য ব্যবহার করে PQ নির্ণয় করি।

সমকোণী $\triangle POQ$-এ (পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী):
$PQ^2 = OP^2 - OQ^2$
এখানে, $OP = 13$ সেমি এবং $OQ = 5$ সেমি।
$PQ^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$
$PQ = \sqrt{144} = 12 \, \text{সেমি।}$

এখন, $\triangle POQ$-এর ক্ষেত্রফল:
$\text{ক্ষেত্রফল} = \frac{1}{2} \times OQ \times PQ$
$= \frac{1}{2} \times 5 \times 12 = 30 \, \text{বর্গসেমি।}$

PQOR চতুর্ভুজটি দুটি সমকোণী $\triangle POQ$ এবং $\triangle POR$ নিয়ে গঠিত। যেহেতু $\triangle POQ$ এবং $\triangle POR$ এর ক্ষেত্রফল সমান,
$\text{PQOR এর ক্ষেত্রফল} = 2 \times \triangle POQ \text{-এর ক্ষেত্রফল}$
$= 2 \times 30 = 60 \, \text{বর্গসেমি।}$

অতএব, PQOR চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল = 60 বর্গসেমি।

 

7. O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AB ও CD জ্যা দুটি কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী, $\angle AOB = 60^\circ$ এবং $CD = 6$ সেমি হলে, বৃত্তটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:

 
যেহেতু AB এবং CD উভয় জ্যা কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী, তাই AB = CD।
অতএব, $AB = CD = 6$ সেমি।

$\triangle AOB$-এ, $OA = OB$ কারণ উভয়ই বৃত্তের ব্যাসার্ধ।
$\angle AOB = 60^\circ$, এবং $OA = OB = AB$।

তাহলে, $\triangle AOB$ একটি সমবাহু ত্রিভুজ, যেখানে প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য সমান।
$OA = OB = AB = 6 \, \text{সেমি।}$

অতএব, বৃত্তটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য = 6 সেমি।

---

8. $\tan\theta + \cot\theta = 2$ হলে, $\tan^2\theta + \cot^2\theta =$ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে: $\tan\theta + \cot\theta = 2$

$\tan\theta + \cot\theta = 2$ থেকে,
$\tan\theta + \frac{1}{\tan\theta} = 2$

সমীকরণটিকে সাধারণ রূপে আনলে:
$\tan^2\theta + 1 = 2\tan\theta$
$\tan^2\theta - 2\tan\theta + 1 = 0$
$(\tan\theta - 1)^2 = 0$
$\tan\theta = 1$

এখন, $\tan^2\theta + \cot^2\theta$ নির্ণয় করি:
$\tan^2\theta + \cot^2\theta = \tan^2\theta + \frac{1}{\tan^2\theta}$
যেহেতু $\tan\theta = 1$, তাই
$\tan^2\theta = 1, \, \cot^2\theta = \frac{1}{1^2} = 1$

অতএব,
$\tan^2\theta + \cot^2\theta = 1 + 1 = 2$

উত্তর: 2

 

9. একটি স্তম্ভের ছায়ার দৈর্ঘ্য এবং স্তম্ভের উচ্চতার অনুপাত $\sqrt{3} : 1$ হলে, সূর্যের উন্নতি কোণ নির্ণয় করো।

সমাধান:
দেওয়া আছে, ছায়ার দৈর্ঘ্য এবং স্তম্ভের উচ্চতার অনুপাত = $\sqrt{3} : 1$।
$\tan\theta = \frac{\text{উচ্চতা}}{\text{ছায়ার দৈর্ঘ্য}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$
$\tan\theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$ হলে, $\theta = 30^\circ$।

অতএব, সূর্যের উন্নতি কোণ = 30°।

---

10. দুটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের আয়তন সমান এবং তাদের উচ্চতার অনুপাত $1 : 2$ হলে, চোঙ দুটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত কত?

সমাধান:
বৃত্তাকার চোঙের আয়তন:
$V = \pi r^2 h$
প্রথম চোঙের ব্যাসার্ধ $r_1$, উচ্চতা $h_1$, এবং দ্বিতীয় চোঙের ব্যাসার্ধ $r_2$, উচ্চতা $h_2$।
দেওয়া আছে, $h_1 : h_2 = 1 : 2$ এবং $V_1 = V_2$।

$\pi r_1^2 h_1 = \pi r_2^2 h_2$
$r_1^2 \cdot h_1 = r_2^2 \cdot h_2$
$r_1^2 \cdot 1 = r_2^2 \cdot 2$
$\frac{r_1^2}{r_2^2} = 2$
$\frac{r_1}{r_2} = \sqrt{2} : 1$

অতএব, চোঙ দুটির ব্যাসার্ধের অনুপাত = $\sqrt{2} : 1$।

---

11. একটি নিরেট অর্ধগোলকের আয়তন $144 \, \text{ঘনসেমি}$ হলে, গোলকটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
অর্ধগোলকের আয়তন:
$V = \frac{1}{2} \times \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{2}{3} \pi r^3$

দেওয়া আছে, $\frac{2}{3} \pi r^3 = 144$
$r^3 = \frac{144 \times 3}{2 \pi} = \frac{432}{2 \times 3.1416} = 68.75$
$r = \sqrt[3]{68.75} \approx 4.1 \, \text{সেমি}$

গোলকের ব্যাস $D = 2r = 2 \times 4.1 = 8.2 \, \text{সেমি।}$

অতএব, গোলকের ব্যাসের দৈর্ঘ্য = 8.2 সেমি।

---

12. একটি পরিসংখ্যা বিভাজনের গড় $8.1$, $\Sigma f x = 132 + 5K$ এবং $\Sigma f = 20$ হলে, $K$-এর মান কত?

সমাধান:
গড়:
$\text{Mean} = \frac{\Sigma f x}{\Sigma f}$
$8.1 = \frac{132 + 5K}{20}$
$132 + 5K = 8.1 \times 20$
$132 + 5K = 162$
$5K = 162 - 132$
$5K = 30$
$K = \frac{30}{5} = 6$

অতএব, K-এর মান = 6।

 

13. বার্ষিক 5% সরল সুদের হারে কত টাকার মাসিক সুদ 1 টাকা হবে তা নির্ণয় করো।

সমাধান:
ধরি, আসল = $x$ টাকা।
বার্ষিক সরল সুদের হার = 5%, সময় = 1 মাস = $\frac{1}{12}$ বছর।
সরল সুদের সূত্র,
$I = \frac{P \times R \times T}{100}$
$I = \frac{x \times 5 \times \frac{1}{12}}{100} = \frac{5x}{1200}$

শর্তানুসারে, মাসিক সুদ = 1 টাকা।
$\frac{5x}{1200} = 1$
$x = \frac{1200}{5} = 240$

উত্তর: বার্ষিক 5% সরল সুদের হারে 240 টাকার মাসিক 1 টাকা হবে।

---

14. এক অংশীদারী ব্যবসায় তিনজনের মূলধনের অনুপাত 3:5:8। প্রথম ব্যক্তির লাভ তৃতীয় ব্যক্তির লাভের থেকে 60 টাকা কম হলে, ব্যবসায় মোট কত লাভ হয়েছিল?

সমাধান:
ধরি, ব্যবসায় মোট লাভ = $x$ টাকা।
তিনজনের মূলধনের অনুপাত = 3:5:8।
তাহলে তাদের লভ্যাংশের অনুপাতও হবে 3:5:8।

প্রথম ব্যক্তির লাভ = $\frac{3}{16}x$
তৃতীয় ব্যক্তির লাভ = $\frac{8}{16}x = \frac{x}{2}$

শর্তানুসারে,
$\frac{x}{2} - \frac{3}{16}x = 60$
$\frac{8x - 3x}{16} = 60$
$\frac{5x}{16} = 60$
$x = \frac{60 \times 16}{5} = 192$

উত্তর: ব্যবসায় মোট 192 টাকা লাভ হয়েছিল।

 

15.
$\frac{a}{2} = \frac{b}{3} = \frac{c}{4} = \frac{2a - 3b + 4c}{p}$ হলে, $p$-এর মান কত?
উত্তর: ধরি, $\frac{a}{2} = \frac{b}{3} = \frac{c}{4} = k$ (যেখানে $k \neq 0$)।
তাহলে, $a = 2k$, $b = 3k$, $c = 4k$।
এখন, $2a - 3b + 4c = pk$।
বা, $2 \times 2k - 3 \times 3k + 4 \times 4k = pk$।
বা, $4k - 9k + 16k = pk$।
বা, $11k = pk$।
সুতরাং, $p = 11$।
অতএব, $p$-এর মান $11$।

 

$x \propto y^2$ এবং $y = 2a, x = a$ হলে দেখাও যে, $y^2 = 4ax$
উত্তর: যেহেতু $x \propto y^2$, তাই $x = ky^2$, যেখানে $k$ একটি ধ্রুবক।
$y = 2a$ এবং $x = a$ হলে, $a = k \times (2a)^2$।
বা, $a = 4ka^2$।
বা, $k = \frac{1}{4a}$।
তাহলে, $x = \frac{1}{4a} \times y^2$।
বা, $y^2 = 4ax$।
অতএব, $y^2 = 4ax$ প্রমাণিত।

 

17. ABCD ট্রাপিজিয়ামের BC || AD এবং AD = 4 সেমি। AC ও BD কর্ণদ্বয় O বিন্দুতে ছেদ করে যে $\frac{AO}{OC} = \frac{DO}{OB} = \frac{1}{2}$ হয়। BC-এর দৈর্ঘ্য কত তা নির্ণয় করো।
উত্তর:

$\triangle AOD$ এবং $\triangle COB$ এর মধ্যে,
$\angle AOD = \angle COB$ (বিপ্রতীপ কোণ)
এবং $\frac{AO}{OC} = \frac{DO}{OB} = \frac{AD}{CB} = \frac{1}{2}$।

তাহলে, $\frac{4}{BC} = \frac{1}{2}$।
বা, $BC = 8$।
অতএব, $BC$-এর দৈর্ঘ্য 8 সেমি।

 

18. একটি বৃত্তে দুটি জ্যা AB এবং AC পরস্পর লম্ব। AB = 4 সেমি এবং AC = 3 সেমি। হলে, বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।
উত্তর:

AB ⊥ AC।
তাহলে, $\angle BAC = 90^\circ$।
বৃত্তের ব্যাস $BC$ সমকোণী $\triangle ABC$ থেকে পাই,
$BC = \sqrt{AC^2 + AB^2}$।
$BC = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ সেমি।

বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য = $\frac{BC}{2} = \frac{5}{2} = 2.5$ সেমি।
অতএব, বৃত্তের ব্যাসার্ধ 2.5 সেমি।

19. ΔABC-এর ∠ABC = 90° এবং BD ⊥ AC, যদি AB = 5 সেমি এবং BC = 12 সেমি। তবে BD-এর দৈর্ঘ্য কত?
উত্তর:

ΔABC সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই,
$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2}$
$= \sqrt{5^2 + 12^2}$ সেমি
$= \sqrt{25 + 144}$ সেমি
$= 13$ সেমি।

ABC সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণিক বিন্দু B দিয়ে AC অতিভুজের ওপর BD লম্ব।
∴ ΔADB এবং ΔABC সদৃশ।
∴ $\frac{AC}{AB} = \frac{BC}{BD}$।
বা, $\frac{13}{5} = \frac{12}{BD}$।
বা, $BD = \frac{12 \times 5}{13}$ সেমি।
∴ $BD = \frac{60}{13}$ সেমি ≈ 4.62 সেমি।

 

20. θ(0° ≤ θ ≤ 90°)-এর কোন মান বা মানগুলির জন্য $2\sin\theta\cos\theta = \cos\theta$ হবে?
উত্তর:
$2\sin\theta\cos\theta = \cos\theta$।
বা, $2\sin\theta\cos\theta - \cos\theta = 0$।
বা, $\cos\theta(2\sin\theta - 1) = 0$।
হয়ে, $\cos\theta = 0$ অথবা $2\sin\theta - 1 = 0$।
বা, $\cos\theta = \cos90^\circ$ অথবা $\sin\theta = \frac{1}{2}$।
বা, $\theta = 90^\circ$ অথবা $\sin\theta = \sin30^\circ$।
∴ $\theta = 90^\circ$ অথবা $\theta = 30^\circ$।
অতএব, θ-এর মান 90° বা 30° হলে $2\sin\theta\cos\theta = \cos\theta$ হবে।

 

$\sin 100° = \cos 80°$ এবং 100° ধনাত্মক সূক্ষকোণ হলে, $\tan 90°$-এর মান নির্ণয় কর।
উত্তর:
$\sin 100° = \cos 80°$
বা, $\cos(90° - 100°) = \cos 80°$
বা, $\tan 90° = \tan(9 \times 5°) = \tan 45° = 1$

22. একটি আয়তাকার ঘরের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে $a$, $b$, $c$ এবং$a + b + c = 25, \quad ab + bc + ca = 240.5$
ঘরের মধ্যে যে বৃহত্তম দড়ি রাখা যাবে তার দৈর্ঘ্য কত?
উত্তর:
$(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca)$
$25^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2 \times 240.5$
$625 = a^2 + b^2 + c^2 + 481$
$a^2 + b^2 + c^2 = 144$
দড়ির দৈর্ঘ্য = $\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} = \sqrt{144} = 12$।
উত্তর: 12 একক।

 

23.একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল ভূমির ক্ষেত্রফলের $\sqrt{5}$ গুণ। শঙ্কুটির উচ্চতা ও ভূমির ব্যাসার্ধের অনুপাত কত?

উত্তর:

ধরি,
শঙ্কুর উচ্চতা $h$ একক এবং ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য $r$ একক।

শঙ্কুর তির্যক উচ্চতা = $\sqrt{r^2 + h^2}$ একক।
শঙ্কুর পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল = $\pi r \sqrt{r^2 + h^2}$ একক।
শঙ্কুর ভূমির ক্ষেত্রফল = $\pi r^2$ একক।

শর্তানুসারে,

$$\pi r \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{5} \times \pi r^2$$ $$\sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{5} \times r$$ $$r^2 + h^2 = 5r^2$$ $$h^2 = 5r^2 - r^2$$ $$h^2 = 4r^2$$ $$\frac{h}{r} = \sqrt{\frac{4r^2}{r^2}} = 2$$

অতএব, $h : r = 2 : 1$।

উত্তর:

শঙ্কুর উচ্চতা ও ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত 2 : 1।

 

24. প্রথম (2n + 1) সংখ্যক ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার মধ্যবর্তী সংখ্যাটা $\frac{n + 103}{3}$ হলে, $n$-এর মান নির্ণয় কর।
উত্তর:
প্রথম (2n + 1) সংখ্যক ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার মধ্যবর্তী সংখ্যা:
$= \frac{2n + 1 + 1}{2} = \frac{2(n + 1)}{2} = (n + 1)$-তম পদ।
শর্তানুসারে, $n + 1 = \frac{n + 103}{3}$
বা, $3n + 3 = n + 103$
বা, $3n - n = 103 - 3$
বা, $2n = 100$
অতএব, $n = 50$।
উত্তর: $n = 50$।

 
25. কোনো আসল ও তার 5 বছরের সবৃদ্ধিমূলের অনুপাত 5:6 হলে, বার্ষিক সরল সুদের হার নির্ণয় করো।
উত্তর:
ধরি, আসল = $5x$ টাকা এবং সবৃদ্ধিমূল = $6x$ টাকা।
 5 বছরের সুদ = $6x - 5x = x$ টাকা।
সরল সুদের সূত্র,

$$সুদ = \frac{\text{আসল} \times \text{হার} \times \text{সময়}}{100}$$

শর্তানুসারে,

$$x = \frac{5x \times r \times 5}{100} \quad \implies \quad x = \frac{25x \times r}{100} \quad \implies \quad xr = 4x \quad \implies \quad r = 4$$

উত্তর: বার্ষিক সরল সুদের হার = 4%।

26. A এবং B কোনো ব্যবসায় 1,050 টাকা লাভ করে। A-এর মূলধন 900 টাকা এবং লভ্যাংশ 630 টাকা হলে, B-এর মূলধন কত?
উত্তর:
মোট লাভ = 1,050 টাকা।
A-এর লভ্যাংশ = 630 টাকা।
তাহলে, B-এর লভ্যাংশ = $1,050 - 630 = 420$ টাকা।
ধরি, B-এর মূলধন = $x$ টাকা।
মূলধনের অনুপাত = লভ্যাংশের অনুপাত।

$$\frac{900}{x} = \frac{630}{420} \quad \implies \quad 630x = 900 \times 420 \quad \implies \quad x = \frac{900 \times 420}{630} \quad \implies \quad x = 600$$

উত্তর: B-এর মূলধন = 600 টাকা।

 
$x \propto y$, $y \propto z$, এবং $z \propto x$ হলে, ধ্রুবক  তিনটির গুণফল নির্ণয় করো।
উত্তর:
$x \propto y$, তাই $x = k_1y$ $\dots$ (I)
$y \propto z$, তাই $y = k_2z$ $\dots$ (II)
$z \propto x$, তাই $z = k_3x$ $\dots$ (III)

যেখানে $k_1, k_2$, এবং $k_3$ অনুপাতের ভেদ ধ্রুবক।
(I) × (II) × (III) থেকে পাই,

$$x \times y \times z = k_1y \times k_2z \times k_3x$$

বা,

$$xyz = k_1k_2k_3 \times xyz$$ $$\therefore k_1k_2k_3 = 1$$

উত্তর: ধ্রবক তিনটির গুণফল = 1।

$5x^2 - 2x + 3 = 0$ দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় $\alpha$ ও $\beta$ হলে, $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}$ এর মান নির্ণয় করো।
উত্তর:
দ্বিঘাত সমীকরণ: $5x^2 - 2x + 3 = 0$ $\dots$ (1)
(1) নং সমীকরণের বীজদ্বয় $\alpha$ এবং $\beta$।
সুতরাং, $\alpha + \beta = \frac{-(-2)}{5} = \frac{2}{5}$ এবং $\alpha \beta = \frac{3}{5}$।

$$\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{\beta + \alpha}{\alpha \beta} = \frac{\frac{2}{5}}{\frac{3}{5}} = \frac{2}{3}$$

উত্তর: $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{2}{3}$।

 

29. ABCD আয়তকার চিত্রের অভ্যন্তরে O বিন্দু এমনভাবে অবস্থিত যে OB = 6 সেমি, OD = 8 সেমি এবং OA = 5 সেমি। OC-এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

উত্তর:

 
ABCD আয়তকার চিত্রে,
OB = 6 সেমি, OD = 8 সেমি এবং OA = 5 সেমি।
$OA^2 + OC^2 = OB^2 + OD^2$

$$5^2 + OC^2 = 6^2 + 8^2$$ $$25 + OC^2 = 36 + 64$$ $$OC^2 = 100 - 25$$ $$OC^2 = 75$$ $$OC = \sqrt{75} \, \text{সেমি} = 5\sqrt{3} \, \text{সেমি।}$$

উত্তর: OC-এর দৈর্ঘ্য = $5\sqrt{3}$ সেমি।

30. ABC সমকোণী ত্রিভুজে $\angle ABC = 90^\circ$, AB = 3 সেমি, BC = 4 সেমি এবং B বিন্দু থেকে AC বাহুর উপর লম্ব BD যা AC বাহুর সঙ্গে D বিন্দুতে মিলিত হয়। BD-এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

উত্তর:

 
সমকোণী ত্রিভুজ ABC থেকে পাই,

$$AC^2 = AB^2 + BC^2$$ $$AC^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$$ $$AC = \sqrt{25} = 5 \, \text{সেমি।}$$

ধরি, BD = $x$ সেমি।
সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল,

$$\frac{1}{2} \times AB \times BC = \frac{1}{2} \times BD \times AC$$ $$\frac{1}{2} \times 3 \times 4 = \frac{1}{2} \times x \times 5$$ $$12 = 5x$$ $$x = \frac{12}{5} = 2.4 \, \text{সেমি।}$$

উত্তর: BD-এর দৈর্ঘ্য = 2.4 সেমি।

 
31. দুটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য ৪ সেমি এবং ৩ সেমি। তাদের কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব ১৩ সেমি। বৃত্ত দুটির সরল সাধারণ স্পর্শকের দৈর্ঘ্য কত?

উত্তর:

 
ধরি, A ও B হলো বৃত্তদুটির কেন্দ্র এবং PQ হলো সরল সাধারণ স্পর্শক।
কেন্দ্রদ্বয় AB = 13 সেমি।
A বৃত্তের ব্যাসার্ধ = ৪ সেমি, B বৃত্তের ব্যাসার্ধ = ৩ সেমি।

প্রথমে,
AP = ৪ সেমি এবং BQ = ৩ সেমি।
তাহলে,
PM = AP - BQ = $4 - 3 = 1$ সেমি।
MQ = AB = 13 সেমি।

সমকোণী ত্রিভুজ APMQ-তে,

$$MQ^2 = MP^2 + PQ^2$$ $$PQ^2 = MQ^2 - MP^2$$ $$PQ = \sqrt{MQ^2 - MP^2} = \sqrt{13^2 - 1^2} = \sqrt{169 - 1} = \sqrt{168}$$ $$PQ = 12 \, \text{সেমি।}$$

উত্তর: বৃত্ত দুটির একটি সরল সাধারণ স্পর্শকের দৈর্ঘ্য = 12 সেমি।

---

32. একটি ঘড়ির ঘন্টার কাঁটা ১ ঘন্টায় যে কোণ আবর্তন করে তার বৃত্তীয় মান কত?

উত্তর:
ঘড়ির ঘন্টার কাঁটার প্রান্তবিন্দু ১ ঘন্টা আবর্তনে উৎপন্ন কোণ = $30^\circ$।
$180^\circ = \pi$ রেডিয়ান হলে,

$$30^\circ = \frac{\pi}{180} \times 30 = \frac{\pi}{6} \, \text{রেডিয়ান।}$$

উত্তর: কোণের বৃত্তীয় মান = $\frac{\pi}{6}$ রেডিয়ান।

 
$\tan 40^\circ \times \tan 60^\circ = 1$ এবং $\theta$ ধনাত্মক সূক্ষকোণ হলে, $\theta$-এর মান নির্ণয় করো।

উত্তর:
দেওয়া আছে,

$$\tan 40^\circ \times \tan 60^\circ = 1$$ $$\therefore \tan 40^\circ = \frac{1}{\tan 60^\circ}$$ $$\tan 40^\circ = \cot 60^\circ$$ $$\tan 40^\circ = \tan (90^\circ - 60^\circ)$$ $$40^\circ = 90^\circ - \theta$$ $$\theta = 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ$$

উত্তর: $\theta = 50^\circ$।

34. একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর উচ্চতা $12$ সেমি এবং আয়তন $100\pi$ ঘন সেমি। শঙ্কুটির তির্যক উচ্চতা নির্ণয় করো।

উত্তর:
দেওয়া আছে,
শঙ্কুর উচ্চতা $h = 12$ সেমি এবং আয়তন $V = 100\pi$ ঘন সেমি।

শঙ্কুর আয়তনের সূত্র:

$$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$$ $$100\pi = \frac{1}{3} \pi r^2 \times 12$$ $$100 = 4r^2$$ $$r^2 = 25$$ $$r = \sqrt{25} = 5 \, \text{সেমি।}$$

তির্যক উচ্চতা (slant height) $l$-এর সূত্র:

$$l = \sqrt{r^2 + h^2}$$ $$l = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \, \text{সেমি।}$$

উত্তর: শঙ্কুটির তির্যক উচ্চতা = $13$ সেমি।

 

35. দুটি গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত 1:4 হলে, তাদের আয়তনের অনুপাত নির্ণয় করো।
ধরি, দুটি নিরেট গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে $r_1$ এবং $r_2$।
শর্তানুসারে,

$$\frac{4\pi r_1^2}{4\pi r_2^2} = \frac{1}{4}$$

বা,

$$\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2 = \frac{1}{4}$$

বা,

$$\frac{r_1}{r_2} = \frac{1}{2}$$

তাহলে, নিরেট গোলক দুটি আয়তনের অনুপাত:

$$\frac{\frac{4}{3}\pi r_1^3}{\frac{4}{3}\pi r_2^3} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^3 = \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}$$

সুতরাং, নিরেট গোলক দুটির আয়তনের অনুপাত $1:8$।

36. যদি $u_i = \frac{x_i - 35}{10}$, $\sum f_i u_i = 30$ এবং $\sum f_i = 60$ হয়, তাহলে $\bar{x}$-এর মান নির্ণয় করো।
দেওয়া আছে,

$$u_i = \frac{x_i - 35}{10}, \, \sum f_i u_i = 30, \, \text{এবং} \, \sum f_i = 60$$

আমরা জানি,

$$\bar{x} = a + h \frac{\sum f_i u_i}{\sum f_i}$$

এখানে, $a = 35$, $h = 10$।
সুতরাং,

$$\bar{x} = 35 + 10 \times \frac{30}{60} = 35 + 5 = 40$$

উত্তর: $\bar{x} = 40$

37. বার্ষিক সুদ আসলের $\frac{1}{16}$ অংশ হলে, 8 মাসে 690 টাকার সুদ কত হবে?

সমাধান:
ধরি, আসল = $P$ টাকা এবং বার্ষিক সুদের হার = $r \%$।

$$P \times \frac{r}{100} \times 1 = P \times \frac{1}{16}$$

অতএব, $r = \frac{100}{16} = 6.25\%$।

8 মাসে সুদ হবে:

$$690 \times \frac{25}{4 \times 100} \times \frac{8}{12} = 28.75 টাকা।$$

---

38. কোনো স্থানের লোকসংখ্যা 13,310 জন ছিল। কী হারে বৃদ্ধি পেলে 3 বছরে 17,280 জন হবে?

সমাধান:
ধরি, লোকসংখ্যা বৃদ্ধির হার = $r \%$।

$$13310 \times \left(1 + \frac{r}{100}\right)^3 = 17280$$ $$\left(1 + \frac{r}{100}\right)^3 = \frac{17280}{13310} = \frac{12}{11}$$ $$1 + \frac{r}{100} = \frac{12}{11}$$ $$\frac{r}{100} = \frac{1}{11}$$

অতএব, $r = \frac{1}{11} \times 100 = 9 \frac{1}{11}\%$।

সুতরাং, 3 বছর পরে লোকসংখ্যা 17,280 জন হবে।

 39.ব্যবসাতে A, B, C এর মূলধনের অনুপাত - বছরের শেষে ব্যবসাতে z টাকা ক্ষতি হয়েছে। C এর ক্ষতির পরিমাণ নির্ণয় করো।

সমাধান:
A, B, C এর মূলধনের অনুপাত দেওয়া আছে।
যতটুকু ক্ষতি হয়েছে, C এর ক্ষতি হবে:

$$\text{C এর ক্ষতি} = \frac{{xy}}{{yz + xz + xy}} \times z$$

40.7x² – 66x + 27 = 0 সমীকরণটির বীজদ্বয়ের যোগফল ও গুণফলের অনুপাত কত?

সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণ:

$$7x^2 - 66x + 27 = 0$$

বীজদ্বয়ের যোগফল ও গুণফল:

• যোগফল = $-\frac{b}{a} = \frac{66}{7}$
• গুণফল = $\frac{c}{a} = \frac{27}{7}$

অনুপাত হবে:

$$\frac{{66}}{{27}} = 66:27$$

---

41.12 / (√15 - 3) হরের করণী নিরসন করো।

সমাধান:
করনীর নিরসন:

$$\frac{{12}}{{\sqrt{15} - 3}} \times \frac{{\sqrt{15} + 3}}{{\sqrt{15} + 3}} = \frac{{12(\sqrt{15} +$$

42. 'O' কেন্দ্রীয় একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 13 সেমি এবং AB একটি জ্যা এর দৈর্ঘ্য 10 সেমি। 'O' বিন্দু থেকে AB জ্যা এর দূরত্ব কত?
সমাধান:

 
ধরি, বৃত্তটির কেন্দ্র থেকে জ্যা এর দূরত্ব = OM = x সেমি।
বৃত্তটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য = OA = 13 সেমি।
AM = 5 সেমি (যেহেতু AB = 10 সেমি)।
সমকোণী ΔOAM  থেকে:

$$OM^2 + AM^2 = OA^2$$

অথবা,

$$x^2 + 5^2 = 13^2$$

অথবা,

$$x^2 + 25 = 169$$

অথবা,

$$x^2 = 144$$

অথবা,

$$x = 12$$

অতএব, OM = 12 সেমি।

43. AOB বৃত্তের একটি ব্যাস যার কেন্দ্র O, C বৃত্তের উপর একটি বিন্দু। <OBC = 60° হলে <OCA এর মান নির্ণয় করো।
সমাধান:

 
<AOB একটি অর্ধবৃত্তস্থ কোণ, সুতরাং:

$$\text{LACB} = 90°$$

এবং,

$$\text{LOBC} = 60°$$

তাহলে,

$$\text{LOCA} = 90° - 60° = 30°$$

অতএব, <OCA = 30°।
44. একটি ’O’ কেন্দ্রীয় বৃত্ত যার কেন্দ্র থেকে 26 সেমি. দুরত্বে অবস্থিত P বিন্দু থেকে অঙ্কিত বৃত্তের স্পর্শকের দৈর্ঘ্য 10 সেমি. হলে, বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য কত?
সমাধান:

 

এই সমস্যায় আমরা স্পর্শকের দৈর্ঘ্য সংক্রান্ত সম্পর্ক ব্যবহার করব। যদি একটি বৃত্তের কেন্দ্র $O$ এবং একটি বাহ্যিক বিন্দু $P$ থেকে বৃত্তের স্পর্শক টানা হয়, তবে স্পর্শকের দৈর্ঘ্য এবং কেন্দ্র থেকে বাহ্যিক বিন্দুর দূরত্বের মধ্যে একটি পিথাগোরাসের ত্রিভুজ সম্পর্ক থাকে।

বৃত্তের কেন্দ্র থেকে বাহ্যিক বিন্দুর দূরত্ব $OP = 26$ সেমি এবং স্পর্শকের দৈর্ঘ্য $PT = 10$ সেমি। বৃত্তের ব্যাসার্ধ $r$ হলে, আমরা পিথাগোরাসের উপপাদ্য ব্যবহার করি:

$$OP^2 = OT^2 + PT^2$$

এখানে $OT = r$।

প্রদত্ত মানগুলো বসিয়ে পাই:

$$26^2 = r^2 + 10^2$$ $$676 = r^2 + 100$$ $$r^2 = 676 - 100 = 576$$ $$r = \sqrt{576} = 24$$

Answer: বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 24 সেমি।

45.∆ABC এর DE||BC, যেখানে D এবং E যথাক্রমে AB ও AC বাহুর ওপর অবস্থিত। যদি AD = 5 সেমি, DB = 6 সেমি, এবং AE = 7.5 সেমি, তবে AC এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।
সমাধান:

 

∆ABC তে DE || BC এবং D এবং E যথাক্রমে AB ও AC বাহুর ওপর অবস্থিত। আমরা থ্যালেসের উপপাদ্য (Basic Proportionality Theorem) প্রয়োগ করবো।

থ্যালেসের উপপাদ্য অনুযায়ী,
যদি একটি ত্রিভুজের কোনো রেখা তার দুই বাহুর সমান্তরাল হয়, তবে সেই রেখাটি ঐ দুই বাহুকে সমানুপাতিক অংশে বিভক্ত করে।

সুতরাং,

$$\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$$

এখানে, $AD = 5$ সেমি, $DB = 6$ সেমি, এবং $AE = 7.5$ সেমি। $AC = AE + EC$, তাই $EC$-এর মান বের করলেই $AC$-এর মান পাওয়া যাবে।

প্রথমে সমানুপাত প্রয়োগ করি:

$$\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$$ $$\frac{5}{6} = \frac{7.5}{EC}$$

এখন, $EC$-এর মান বের করি:

$$EC = \frac{7.5 \times 6}{5} = 9 \, \text{সেমি}$$

তাহলে, $AC = AE + EC = 7.5 + 9 = 16.5 \, \text{সেমি}$।

Answer: $AC$-এর দৈর্ঘ্য 16.5 সেমি।
46. দুটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের উচ্চতার অনুপাত 1: 2, ভূমির পরিধির অনুপাত 3: 4 হলে, তাদের আয়তনের অনুপাত নির্ণয় করো।
সমাধান:
ধরি, লম্ব বৃত্তাকার চোঙের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 11 একক এবং 12 একক, এবং উচ্চতা যথাক্রমে h একক এবং 2h একক।
আয়তনের অনুপাতের সূত্র:

$$\frac{V_1}{V_2} = \frac{r_1^2 \cdot h_1}{r_2^2 \cdot h_2}$$

এখানে,

$$V_1 = \frac{1}{3} \pi r_1^2 h_1, \quad V_2 = \frac{1}{3} \pi r_2^2 h_2$$

তাহলে,

$$\frac{V_1}{V_2} = \frac{r_1^2 \cdot h_1}{r_2^2 \cdot h_2} = \frac{11^2 \cdot h}{12^2 \cdot 2h} = \frac{121h}{288h} = \frac{121}{288} = 9:32$$

---

47. একটি গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 50% বৃদ্ধি করলে বক্রতলের ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি পায়, তা নির্ণয় করো।

সমাধান:

গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল $4\pi r^2$ সূত্র দিয়ে নির্ণয় করা হয়, যেখানে $r$ হলো গোলকের ব্যাসার্ধ।

প্রথম অবস্থায়, যদি ব্যাসার্ধ $r$ হয়, তবে বক্রতলের ক্ষেত্রফল হবে:
$A_1 = 4\pi r^2$

এখন, ব্যাসার্ধ 50% বৃদ্ধি করা হলে নতুন ব্যাসার্ধ হবে:
$r' = 1.5r$

নতুন বক্রতলের ক্ষেত্রফল হবে:
$A_2 = 4\pi (1.5r)^2 = 4\pi \times 2.25r^2 = 9\pi r^2$

বৃদ্ধি প্রাপ্ত ক্ষেত্রফল:
$A_2 - A_1 = 9\pi r^2 - 4\pi r^2 = 5\pi r^2$

এখন শতকরা বৃদ্ধির হার নির্ণয় করি:
$\text{বৃদ্ধির হার} = \frac{A_2 - A_1}{A_1} \times 100 = \frac{5\pi r^2}{4\pi r^2} \times 100 = 125\%$

Answer: ব্যাসার্ধ 50% বৃদ্ধি করলে বক্রতলের ক্ষেত্রফল 125% বৃদ্ধি পায়।
48. একটি ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য 4√3 সেমি.। ঘনকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।
সমাধান:
ধরি, ঘনকটির বাহুর দৈর্ঘ্য = x সেমি।
শর্তানুসারে,

$$\sqrt{3} \times x = 4\sqrt{3}$$

তাহলে,

$$x = 4$$

সুতরাং, ঘনকটির বাহুর দৈর্ঘ্য ৪ সেমি।
ঘনকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল হবে:

$$6 \times 4^2 = 6 \times 16 = 96 \, \text{বর্গএকক}$$

$$$$49.শতকরা বার্ষিক সরল সুদের হার কত হলে কোনো টাকার 5 বছরের সুদ আসলের অংশ হবে, তা নির্ণয় করো।

সমাধান:
ধরি, বার্ষিক সরল সুদের হার $r\%$ এবং আসল $P$ টাকা।
5 বছরের মোট সরল সুদ:

$$\text{সুদ} = \frac{P \cdot r \cdot 5}{100} = \frac{5Pr}{100} = \frac{Pr}{20}$$

শর্তানুসারে, 5 বছরের সুদ আসলের সমান:

$$\frac{Pr}{20} = P$$

এখন, $P$ বাতিল করলে পাই:

$$r = 20$$

Answer: শতকরা বার্ষিক সরল সুদের হার $20\%$।

---

50. কোনো ব্যবসায় A ও B-এর মূলধনের অনুপাত, বছরের শেষে ₹11000 লাভ হলে তাদের লভ্যাংশের পরিমাণ নির্ণয় করো।

সমাধান:
A এবং B-এর মূলধনের অনুপাত $4:7$। মোট লাভ = ₹11000।

A এর লভ্যাংশ:

$$\text{A-এর লভ্যাংশ} = \frac{4}{4+7} \times 11000 = \frac{4}{11} \times 11000 = ₹4000$$

B এর লভ্যাংশ:

$$\text{B-এর লভ্যাংশ} = \frac{7}{4+7} \times 11000 = \frac{7}{11} \times 11000 = ₹7000$$

Answer: A-এর লভ্যাংশ ₹4000 এবং B-এর লভ্যাংশ ₹7000।

---

$x^2 - x = K(2x - 1)$ সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি 2 হলে, $K$-এর মান নির্ণয় করো।

সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণ:

$$x^2 - x = K(2x - 1)$$

প্রসারিত করে পাই:

$$x^2 - x = 2Kx - K$$ $$x^2 - x - 2Kx + K = 0$$ $$x^2 - (1 + 2K)x + K = 0$$

বীজদ্বয়ের সমষ্টি $-b/a$ সূত্র অনুযায়ী, এখানে $a = 1$, $b = -(1 + 2K)$:

$$\text{বীজদ্বয়ের সমষ্টি} = -\frac{b}{a} = -( - (1 + 2K)) = 1 + 2K$$

শর্ত অনুসারে, বীজদ্বয়ের সমষ্টি $2$:

$$1 + 2K = 2$$ $$2K = 2 - 1 = 1$$ $$K = \frac{1}{2}$$

Answer: $K = \frac{1}{2}$।

 52.যদি $b \propto a^2$ হয় এবং $a$-এর বৃদ্ধি হয় $2:3$ অনুপাতে, তাহলে $b$-এর বৃদ্ধি কী অনুপাতে হয় তা নির্ণয় করো।

সমাধান:
প্রদত্ত যে, $b \propto a^2$, তাই

$$b = k \cdot a^2 \quad \text{(যেখানে \(k\) একটি অশূন্য ধ্রুবক)}$$

ধরি, $a$-এর বৃদ্ধি $2p$ থেকে $3p$ হল।

যখন $a = 2p$, তখন:

$$b = k \cdot (2p)^2 = 4kp^2$$

যখন $a = 3p$, তখন:

$$b = k \cdot (3p)^2 = 9kp^2$$

$b$-এর বৃদ্ধির অনুপাত:

$$4kp^2 : 9kp^2 = 4 : 9$$

Answer: $b$-এর বৃদ্ধি $4:9$ অনুপাতে।

---

53. একটি বৃত্তের AB ও CD দুটি জ্যা। BA এবং DC কে বর্ধিত করলে পরস্পর P বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করো যে, $\angle PCB = \angle PAD$।

প্রমাণ:

 প্রদত্ত: একটি বৃত্তের AB এবং CD দুটি জ্যা, এবং BA ও DC বর্ধিত হয়ে P বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রমাণ করতে হবে যে, $\angle PCB = \angle PAD$।

1. বৃত্তের উপর থাকা জ্যা AB এবং CD থেকে:

   $$\angle BCD = \angle BAD \quad \text{(একই বৃত্তাংশে থাকা কোণ)}$$

2. আবার,

   $$\angle PCB = 180^\circ - \angle BCD$$

   এবং

   $$\angle PAD = 180^\circ - \angle BAD$$

3. যেহেতু, $\angle BCD = \angle BAD$, তাই:

   $$180^\circ - \angle BCD = 180^\circ - \angle BAD$$

4. সুতরাং,

   $$\angle PCB = \angle PAD$$

Answer: প্রমাণিত যে, $\angle PCB = \angle PAD$।

54.∆ABC এর AC এবং BC বাহু দুটির উপর যথাক্রমে L এবং M দুটি বিন্দু এমনভাবে অবস্থান করে যাতে LM || AB এবং AL = (x - 2) একক, AC = 2x + 3 একক, BM = (x – 3) একক এবং BC = 2x একক, তবে x এর মান নির্ণয় করো।

 সমাধান:

প্রদত্ত:

• AL = (x - 2)
• AC = (2x + 3)
• BM = (x - 3)
• BC = 2x

Thales' Theorem অনুসারে:

$$\frac{AL}{AC} = \frac{BM}{BC}$$

এখন, মানগুলো বসিয়ে সমীকরণটি তৈরি করি:

$$\frac{x - 2}{2x + 3} = \frac{x - 3}{2x}$$

ক্রস মাল্টিপ্লাই করি:

$$(x - 2)(2x) = (x - 3)(2x + 3)$$

এখন সমীকরণটি খুলে লিখি:

$$2x(x - 2) = (x - 3)(2x + 3)$$

এটি হবে:

$$2x^2 - 4x = (x - 3)(2x + 3)$$

এখন, (x - 3)(2x + 3) খুলে:

$$2x^2 - 4x = 2x^2 + 3x - 6x - 9$$

এখন সমীকরণটি সরল করি:

$$2x^2 - 4x = 2x^2 - 3x - 9$$

এখন, $2x^2$ দুটি দিক থেকে বাদ যাবে:

$$-4x = -3x - 9$$

এখন:

$$-4x + 3x = -9$$

অথবা:

$$-x = -9$$

অথবা:

$$x = 9$$

উত্তর: $x = 9$

 

---

 

55. দুটি বৃত্ত পরস্পরকে বিন্দুতে বহিঃস্পর্শ করে। বৃত্ত দুটির একটি সাধারণ স্পর্শক AB বৃত্ত দুটিকে A ও B বিন্দুতে স্পর্শ করে। $\angle ACB$ এর মান নির্ণয় করো।

সমাধান:

 
দুটি বৃত্ত পরস্পরকে বিন্দুতে বহিঃস্পর্শ করছে এবং তাদের সাধারণ স্পর্শক AB বৃত্ত দুটিকে A এবং B বিন্দুতে স্পর্শ করছে।

এখানে, আমরা জানি যে, দুটি বৃত্ত যখন পরস্পরকে বিন্দুতে বহিঃস্পর্শ করে, তখন দুটি বৃত্তের স্পর্শক এবং কেন্দ্রের মধ্যে যুক্ত কোণগুলি বিশেষভাবে সম্পর্কিত থাকে।

যেহেতু স্পর্শক AB বৃত্ত দুটিকে A এবং B বিন্দুতে স্পর্শ করছে, তখন কোণ $\angle ACB = 90^\circ$ হবে।

Answer: $\angle ACB = 90^\circ$ $\tan 2A = \cot (A - 30^\circ)$ হলে, $\sec (A + 20^\circ)$ এর মান নির্ণয় করো।

সমাধান:

 $$\tan 2A = \cot (A - 30^\circ)$$

কিন্তু $\cot \theta = \tan (90^\circ - \theta)$, তাই:

$$\tan 2A = \tan (90^\circ - (A - 30^\circ))$$$$$$

$$\tan 2A = \tan (120^\circ - A)$$

তাহলে:

$$2A = 120^\circ - A$$

এখন, সমীকরণটি সমাধান করি:

$$3A = 120^\circ$$

অতএব:

$$A = 40^\circ$$

এখন, $\sec (A + 20^\circ) = \sec 60^\circ$।
আমরা জানি $\sec 60^\circ = 2$।
অতএব,
Answer: $\sec (A + 20^\circ) = 2$

---

57. $\tan \theta = \frac{8}{15}$ হলে, $\sin \theta$ এর মান নির্ণয় করো।

সমাধান:

ধরি, $AB = 8k$ এবং $BC = 15k$ (যেখানে $k > 0$)।
এখন, $\triangle ABC$ ত্রিভুজের মধ্যে পিথাগোরাসের সূত্র প্রয়োগ করি:

$$AC^2 = AB^2 + BC^2$$

এটি সরলীকরণ করলে:

$$AC = \sqrt{(8k)^2 + (15k)^2}$$ $$AC = \sqrt{64k^2 + 225k^2}$$ $$AC = \sqrt{289k^2} = 17k$$

এখন, $\sin \theta = \frac{AB}{AC}$:

$$\sin \theta = \frac{8k}{17k} = \frac{8}{17}$$

Answer: $\sin \theta = \frac{8}{17}$

---

58. একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর আয়তন $V$ ঘনএকক, ভূমিতলের ক্ষেত্রফল $A$ বর্গএকক এবং উচ্চতা $H$ একক হলে, আয়তনের সূত্র অনুযায়ী $V$ এর মান নির্ণয় করো।

সমাধান:

ধরি, শঙ্কুর ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য $r$ একক।
শঙ্কুর আয়তন $V = \frac{1}{3} \pi r^2 H$ এবং ভূমিতলের ক্ষেত্রফল $A = \pi r^2$।
তাহলে:

$$V = \frac{1}{3} A H$$

এখানে $A = \pi r^2$, তাই:

$$V = \frac{1}{3} A H$$

এটি শঙ্কুর আয়তনের সূত্র।

59. সমান দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধ এবং সমান উচ্চতা বিশিষ্ট নিরেট লম্ব বৃত্তাকার চোঙ এবং নিরেট লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর আয়তনের অনুপাত নির্ণয় করো।

সমাধান:

ধরি, লম্ব বৃত্তাকার চোঙের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য $r$ একক এবং উচ্চতা $h$ একক।
এছাড়া, শঙ্কুর ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য $r$ একক এবং উচ্চতা $h$ একক।

• চোঙের আয়তন:

$$V_{\text{চোঙ}} = \pi r^2 h$$

• শঙ্কুর আয়তন:

$$V_{\text{শঙ্কু}} = \frac{1}{3} \pi r^2 h$$

এখন, চোঙের আয়তন এবং শঙ্কুর আয়তনের অনুপাত হবে:

$$\frac{V_{\text{চোঙ}}}{V_{\text{শঙ্কু}}} = \frac{\pi r^2 h}{\frac{1}{3} \pi r^2 h} = 3:1$$

Answer: নিরেট লম্ব বৃত্তাকার চোঙ এবং নিরেট লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর আয়তনের অনুপাত $3:1$।

---

60. উর্ধ্বক্রমে সাজানো 6, 8, 10, 12, 13, x তথ্যের গড় ও মধ্যমা সমান হলে $x$ এর মান নির্ণয় করো।

সমাধান:

প্রদত্ত তথ্যগুলি উর্ধ্বক্রমে সাজানো আছে: 6, 8, 10, 12, 13, $x$
এখানে $n = 6$, অর্থাৎ মোট 6টি তথ্য।

তথ্যের মধ্যমা হবে:

$$\text{মধ্যমা} = \frac{10 + 12}{2} = 11$$

তথ্যের গড় হবে:

$$\text{গড়} = \frac{6 + 8 + 10 + 12 + 13 + x}{6} = \frac{49 + x}{6}$$

শর্তানুসারে, গড় এবং মধ্যমা সমান:

$$\frac{49 + x}{6} = 11$$

এখন সমীকরণ সমাধান করি:

$$49 + x = 66$$ $$x = 66 - 49$$ $$x = 17$$

Answer: $x = 17$