🌹মাধ্যমিক গণিত সাজেশন-২০২৫:পার্ট-৩:১০০% কমন🌹

 

 

 

✍️প্রশ্নের মান-৫:

 

1.আমিনুর একটি ব্যাংক থেকে 64,000 টাকা ধার নিয়েছে। যদি ব্যাংকের সুদের হার প্রতি বছরে প্রতি টাকায় 2.5 পয়সা হয়, তবে ওই টাকার 2 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ কত হবে?

সমাধান:
ধরি,
P= 64,000 টাকা,
r= 2.5 পয়সা
n= 2 বছর।

চক্রবৃদ্ধি সুদের সূত্র:

$$A = P \left( 1 + \frac{r}{100} \right)^n$$

এখানে,
A = চক্রবৃদ্ধি পরিমাণ,
P = মূলধন,
r = বার্ষিক সুদের হার,
n = বছর।

তাহলে,

$$A = 64000 \left( 1 + \frac{2.5}{100} \right)^2 = 64000 \left( 1 + 0.025 \right)^2 = 64000 \times 1.025^2$$ $$A = 64000 \times 1.050625 = 67240$$

এখন, চক্রবৃদ্ধি সুদ:

$$S = A - P = 67240 - 64000 = 3240 টাকা$$

অতএব, 2 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ হবে 3240 টাকা।

2. A, B ও C যথাক্রমে 6,000 টাকা, 4,000 টাকা ও 9,000 টাকা মূলধন নিয়ে একত্রে ব্যবসা আরম্ভ করল। কয়েক মাস পর A আরও 3,000 টাকা ব্যবসায় লগ্নি করল। বছরের শেষে মোট 30,000 টাকা লাভ হল এবং C তার ভাগে 10,800 টাকা লভ্যাংশ পেল। A কখন আরও 3,000 টাকা লগ্নি করেছিল?

সমাধান:

ধরি, A, x মাস পরে আরও 3,000 টাকা লগ্নি করেছিল।
A 6,000 টাকা x মাস এবং (6,000 + 3,000) টাকা = 9,000 টাকা বাকি (12 – x) মাস ব্যবসায় নিয়োজিত করেছিল।

বছরের শেষে যে লাভ হবে, সেই লাভ 1 মাসে পেতে হলে A এর প্রয়োজন হবে {6,000 × x + 9,000 × (12 – x)} টাকা
= (1,08,000 – 3,000x) টাকা

A, B ও C এর মূলধনের অনুপাত =
(1,08,000 – 3,000x) : 48,000 : 1,08,000
= 3,000(36 – x) : 96,000 : 1,08,000
= (36 – x) : 32 : 36

লভ্যাংশ মূলধনের অনুপাতে ভাগ হবে।
C -এর লাভের পরিমাণ = 30,000 × $\frac{36}{104 - x}$
= 10,800

শর্তানুসারে,
30,000 × $\frac{36}{104 - x}$ = 10,800
অথবা,
104 – x = $\frac{30,000 \times 36}{10,800}$
অথবা,
104 – x = 100

অতএব,
x = 104 – 100 = 4

অতএব, A 3,000 টাকা 4 মাস পরে লগ্নি করেছিল।

3. যদি 6 মাস অন্তর সুদ, আসলের সঙ্গে যুক্ত হয়, তাহলে বার্ষিক 10% চক্রবৃদ্ধি হারে 8000 টাকার উপর $1 \frac{1}{2}$ বছরের সমূল চক্রবৃদ্ধি এবং চক্রবৃদ্ধি সুদ কত হবে?

---

সমাধান:

• মূলধন (P)= 8000 টাকা
• বার্ষিক সুদের হার (r)=10%
• প্রতি বছরে সুদের সময়কাল (m)= 2
• সময়কাল (n)= 1 $\frac{1}{2}$ বছর = $\frac{3}{2}$
  বছর।
  

চক্রবৃদ্ধি সূত্র:

$$A = P \left(1 + \frac{r}{m \cdot 100}\right)^{n \cdot m}$$

মান বসানো:

$$8000 \times \left( 1 + \frac{10}{2 \times 100} \right)^{\frac{3 \times 2}{2}}$$$$A = 8000 \times \left(1 + \frac{5}{100}\right)^3 = 8000 \times (1.05)^3 = 8000 \times 1.157625 = 9261 \, \text{টাকা}$$

চক্রবৃদ্ধি সুদ:

 চক্রবৃদ্ধি সুদ=A−P=9261−8000=1261টাকা।

---

উত্তর:

• সমূল চক্রবৃদ্ধি (A)=9261 টাকা
• চক্রবৃদ্ধি সুদ= 1261 টাকা

4. দুই বন্ধু যথাক্রমে 40,000 টাকা ও 50,000 টাকা দিয়ে একটি অংশীদারি ব্যবসা শুরু করে। তাদের মধ্যে একটি চুক্তি হয় যে, লাভের 50% নিজেদের মধ্যে সমান ভাগে এবং লাভের অবশিষ্টাংশ মূলধনের অনুপাতে ভাগ হবে। প্রথম বন্ধুর লভ্যাংশ যদি দ্বিতীয় বন্ধুর লভ্যাংশ অপেক্ষা 800 টাকা কম হয়, তবে প্রথম বন্ধুর লভ্যাংশ কত?

উত্তর:
ধরি, প্রথম বন্ধুর বিনিয়োগ = $40,000$ টাকা এবং দ্বিতীয় বন্ধুর বিনিয়োগ = $50,000$ টাকা।
লাভের 50% সমানভাবে ভাগ হবে, অর্থাৎ দুই বন্ধু লাভের 50% পাবেন সমানভাবে।

বাকি 50% লাভ হবে মূলধনের অনুপাত অনুসারে ভাগ। প্রথম বন্ধুর বিনিয়োগের অনুপাত $\frac{40,000}{40,000 + 50,000} = \frac{40,000}{90,000} = \frac{4}{9}$, এবং দ্বিতীয় বন্ধুর বিনিয়োগের অনুপাত $\frac{50,000}{90,000} = \frac{5}{9}$।

ধরি, মোট লাভ = $L$।
তাহলে, লাভের 50% সমান ভাগে হবে:
প্রথম বন্ধুর 50% = $\frac{L}{2} \div 2 = \frac{L}{4}$, দ্বিতীয় বন্ধুর 50% = $\frac{L}{4}$।

এখন, 50% অবশিষ্ট লাভ:
প্রথম বন্ধুর শেয়ার = $\frac{4}{9} \times \frac{L}{2}$ = $\frac{2L}{9}$ এবং দ্বিতীয় বন্ধুর শেয়ার = $\frac{5}{9} \times \frac{L}{2} = \frac{5L}{18}$।

প্রথম বন্ধুর মোট লভ্যাংশ =

$$\frac{L}{4} + \frac{2L}{9}$$

এবং দ্বিতীয় বন্ধুর মোট লভ্যাংশ =

$$\frac{L}{4} + \frac{5L}{18}$$

এখন, দ্বিতীয় বন্ধুর লভ্যাংশের সাথে প্রথম বন্ধুর লভ্যাংশের পার্থক্য 800 টাকা দেওয়া হয়েছে, সুতরাং:

$$\left( \frac{L}{4} + \frac{5L}{18} \right) - \left( \frac{L}{4} + \frac{2L}{9} \right) = 800$$

এটি সহজ করে সমাধান করলে:

$$\frac{5L}{18} - \frac{2L}{9} = 800$$ $$\frac{5L}{18} - \frac{4L}{18} = 800$$ $$\frac{L}{18} = 800$$ $$L = 800 \times 18 = 14,400$$

তাহলে, মোট লাভ $L = 14,400$ টাকা।
প্রথম বন্ধুর লভ্যাংশ হবে:

$$\frac{L}{4} + \frac{2L}{9} = \frac{14,400}{4} + \frac{2 \times 14,400}{9} = 3,600 + 3,200 = 6,800 \text{ টাকা।}$$

উত্তর: প্রথম বন্ধুর লভ্যাংশ 6,800 টাকা।
5. তোমার কাকার কারখানায় একটি মেশিনের মূল্য প্রতি বছর 10% হারে হ্রাস পায়। মেশিনটির বর্তমান মূল্য 6000 টাকা হলে, 3 বছর পরে ওই মেশিনটির মূল্য কত হবে?

উত্তর:
ধরি, মেশিনটির বর্তমান মূল্য $6000$ টাকা, বার্ষিক হ্রাসের হার $10\%$, এবং সময়কাল 3 বছর।

আমরা জানি,

$$A = P \left(1 - \frac{r}{100}\right)^n$$

এখানে,
$P = 6000$, $r = 10$, এবং $n = 3$।

তাহলে,

$$A = 6000 \times \left(1 - \frac{10}{100}\right)^3 = 6000 \times (0.9)^3 = 6000 \times 0.729 = 4374 \, \text{টাকা।}$$

উত্তর:
3 বছর পর মেশিনটির মূল্য হবে 4374 টাকা।

6.কোনো মূলধনের একই বার্ষিক শতকরা সরল সুদের হারে 7 বছরে সুদে আসলে 7,100 টাকা এবং 4 বছরে সুদে আসলে 6,200 টাকা হলে, মূলধন ও বার্ষিক শতকরা সরল সুদের হার নির্ণয় করো।

সমাধান:
আসল+7 বছরের সুদ=7100 টাকা

আসল+4 বছরের সুদ=6200 টাকা

                                                              

বিয়োগ করে, 3 বছরের সুদ=900 টাকা।

এখন, 1 বছরের সুদ হবে:

$$\frac{900}{3} = 300 টাকা।$$

তাহলে, 1 বছরের সুদের পরিমাণ $300$ টাকা।

এখন, $P$ এবং $r$ বের করার জন্য, 1 বছরের সুদের সূত্র ব্যবহার করি:

$$300 = \frac{P \times r \times 1}{100}$$

 বা, Pr=30000

বা, 5000×r=30000, বা, r=30000/5000=6

উত্তর:
মূলধন = 5000 টাকা,
বার্ষিক সুদের হার = 6%।